Учебники для вузов |
Экология и безопасность жизнедеятельностиРаздел: Экономика |
В современной экологии часто возникает вопрос: как определить численность той или иной популяции через определенное время? Ответ на него не только представляет теоретический, интерес, но и имеет большое практическое значение. Действительно, не зная этого, нельзя правильно планировать эксплуатацию различных возобновляемых природных ресурсов – промысловых рыб, охотничьих угодий и т.п. Может ли в решении этого вопроса помочь математика? Оказывается, да. Рассмотрим здесь некоторые простейшие модели, на которых проиллюстрируем подход к данному вопросу.
Пусть некоторая популяция имеет в момент времени t0 биомассу x0.
Предположим, что в каждый момент времени скорость увеличения биомассы
пропорциональна уже имеющейся биомассе, а возникающие явления конкуренции за
источниками питания и самоотравления снижают биомассу пропорционально квадрату
наличной биомассы. Если обозначить биомассу в момент времени t
через х(t), а изменение ее за время t через
х, то можно записать следующее приближенное
равенство:
х≈(kх-αх2)
t,
(9.1)
где α и k – положительные постоянные (параметры).
В дифференциальной форме это соотношение имеет вид:
. (9.2)
Оно и представляет собой математическую модель процесса изменения биомассы популяций. В экологической литературе уравнение (9.2) часто называют логистическим.
Если теперь поставить вопрос о том, какова же будет биомасса в момент времени Т, то на него можно ответить экспериментально – дождаться этого момента и определить биомассу непосредственным измерением (вообще говоря, такое измерение может быть физически неосуществимым).
Другой путь – воспользоваться математической моделью, решая задачу Коши для уравнения (9.2) с начальным условием (9.3):
x(t0)=x0. (9.3)
Разделяя в уравнении (9.2) переменные, получим уравнение в дифференциалах
. (9.4)
Для дальнейшего удобно ввести новую переменную
z=αх, (9.5)
тогда (9.4) можно переписать в виде
(9.6)
Возвращаясь к исходному уравнению (9.2), заметим, что если x0= (т. е. z0=k), то
задача Коши имеет решение x(t)
x0 (рис.
9.1). Если x0 <
, то
уравнение (9.6) интегрируется следующим образом
ln z – ln(k-z)=ln z0- ln (k-z0)+k(t-t0),
откуда
, (9.7)
значит,
, t >
0 (9.8)
Если x0 > , то аналогично предыдущему случаю снова
получаем формулу (9.8). Дифференцируя (9.8) по t,
имеем
, (9.9)
откуда вытекает, что при x0 < график
функции х(t) монотонно возрастает, а при x0>
–
монотонно убывает, причем оба графика имеют горизонтальную асимптоту х=
(рис. 9.1). Мы не приводим здесь элементарную,
но громоздкую формулу второй производной d2x/dt2,
показывающую, что верхний и нижний графики имеют по одной точке перегиба.
Мы рассмотрели весьма упрощенную ситуацию, так как предполагали, что популяция не взаимодействует ни с какими другими популяциями, учет же этого обстоятельства, конечно, значительно усложняет модель.
Рассмотрим одну из таких моделей. Будем обозначать биомассы двух популяций через х и у соответственно. Предположим, что обе популяции потребляют один и тот же корм, количество которого ограничено, и из-за этого находятся в конкурентной борьбе друг с другом.
Французский математик В. Вольтерра в 1926 г. показал, что при таком предположении динамика популяций достаточно хорошо описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
,
(9.10)
где – определенные
положительные числа.
Первые члены правых частей системы (9.10) характеризуют скорость роста популяций при отсутствии ограничивающих факторов. Вторые члены учитывают те изменения в скоростях, которые вызываются ограниченностью корма.
Задавая различные значения параметров, с помощью системы (9.10) можно описать взаимодействие двух популяций, одна из которых – хищник, а другая – жертва [36]. В литературе [47] более подробно описаны математические аспекты исследования системы (9.10).
Прежде чем исследовать, как будет вести себя система (9.10), заметим, что в любой момент времени t ее состояние полностью описывается значениями х и у: каждому состоянию системы соответствует некоторая точка (х, у) на плоскости хОу, называемой «фазовой плоскостью». Каждой точке фазовой плоскости можно поставить в соответствие вектор (стрелку на рис. 9.2) с координатами, которые являются правыми частями системы, указывающий направление движения в этой точке. Проведя из начальной точки линии, касательные этим векторам, получим траектории, по которым будет происходить движение системы, т. е. решения задачи Коши для системы (9.10) с начальными условиями
x(t0)=x0, y(t0)=y0, (х0,у0)Î х0у. (9.11)
Чтобы составить представление о траекториях движения
системы, построим линии, на которых х=0 (здесь векторы параллельны оси Оу)
и у = 0 (здесь векторы параллельны оси Ох). Для краткости
обозначим производную –
через х, а
– через у.
Имеем
х=0, когда ,
у=0, когда ,
т. е. х = 0 на двух прямых в фазовой плоскости:
х=0 и =
,
а у=0 также на двух прямых:
у=0 и =
(рис. 9.2, 9.3).
По этим рисункам можно сделать следующие выводы. В обоих
случаях имеем три стационарные точки, в которых одновременно х=0 и у=0,
а именно: (0,0), (0, )
и (0,
),
которые по известной классификации являются узлами. При этом, если
>
(рис. 9.2), то устойчивым является
только узел (
, 0), а
если
<
(рис. 9.3), то узел (0,
). Таким образом, если
>
, то вторая популяция вымирает, y(t) → 0, t →
, а первая
стабилизируется, x(t)
→
, t →
. Если же
<
, то имеем обратную картину:
первая популяция вымирает, x(t) → 0, t→
, а вторая стабилизируется, x(t) →
, t→
. Наконец, если
=
=
, то кроме неустойчивого узла (0,0)
имеем линию стационарных точек – отрезок прямой
=
(рис.
9.3).
В дальнейших рассмотрениях будем для простоты считать, что k1=k2=k и ε1= ε2= ε.
Тогда, деля второе уравнение системы (9.10) на первое, получим =
, откуда
, (9.12)
т. е. траекториями являются отрезки прямых, выходящих из
начала координат (рис. 9.4). Обе популяции не вымирают и численность их
стабилизируется к значениям, которые можно найти как координаты пересечения
прямых =
и y =
, откуда
(9.13)
К содержанию книги: Экология и безопасность жизнедеятельности
Смотрите также:
Экологическое право. Вопросы и аспекты "Экологическое право. Право окружающей среды" "Экологическое право" "Экологическое право"
Цены и ценообразование Цены и ценообразование "Финансовое право" "Хозяйственное право"
ЭКОЛОГИЯ — наука, изучающая условия существования живых организмов ...
Впервые термин «экология» был использован нем. биологом
Э. Геккелем в 1866 г., однако наиболее активное развитие Э. началось лишь в
30-х гг. 20 в. ... |
Экономические основы решения экологического, сырьевого и ...
На уже функционирующие международные и региональные
экологические организации ... Экология в последнее время стала постоянным
объектом. ... |
Влияние урбанизированной жилой среды на условия проживания и ...
Рассмотрение экологических проблем с современных
позиций позволяет утверждать, что ухудшение окружающей природной среды не
является... |
Оценка общей экономической ценности природных территорий
Экологические системы и особо охраняемые природные территории
.... с определением хозяйственной и экологической ценности природных
ресурсов. ... |